Analiza wielowymiarowa dla informatyków

Opis kursu:

Kurs stanowi pilotową wersję kursu wielowymiarowej analizy matematycznej ukierunkowanej na studia informatyczne. W świecie anglosaskiem kursy tego typu mają ogólną nazwę ’Calculus’ (“Advanced Calculus”), która dobrze charakteryzuje ich istotę - prezentują one po prostu zbiór użytecznych narzędzi obliczeniowych w świecie makroskopowym, tzn. opisywanym przez funkcje ciągłe. Pojęciowo kurs kontynuuje zagadnienia prezentowane w ramach zajęć analizy funkcji jednej zmiennej. Jednak w tym przypadku dużo głębiej zajmiemy się formalnymi metodami opisu otaczajacego nas świata dwu oraz trójwymiarowego, w tym aspektami związanymi z analizą danych zdefiniowanych w przestrzeniach o dowolnej liczbie wymiarów. Znajomość tych zagadnień jest potrzebna m.in. we wszystkich kursach związanych z ogólnie rozumianą grafiką komputerową, ogólną analizą danych oraz uczeniem maszynowym.

Cele i zarys tematyczny kursu:

Podstawowym celem kursu jest zdobycie rozsądnie wysokiej kompetencji obliczeniowej, popartej zrozumieniem teoretycznym prezentowanych zagadnień. Celem dodatkowym jest przestowanie (poprzez narzędzia lub programowanie) pewnej ilości klasycznych algorytmów wykorzystujących poruszane w kursie zagadnienia. W dużym skrócie materiał kursu obejmuje:

  1. Funkcje i odwzorowania wielowymiarowe, postać uwikłana

  2. Ciągłość, różniczkowalność oraz ogólna postać pochodnej odwzorowań wielowymiarowych, szereg Taylora dla funkcji wielu zmiennych

  3. Krzywe i powierzchnie parametryczne w 2D i 3D, krzywizna i skręcenie

  4. Pole wektorowe, linie przepływu, strumień, dywergencja, gradient i rotacja

  5. Maksima i minima funkcji wielu zmiennych

  6. Twierdzenia całkowe w przestrzeniach 2D oraz 3D

Wymagania:

algebra liniowa, analiza matematyczna 1

Literatura:

  1. J. Stewart, S. Watson, D.K. Clegg Multivariable calculus, 9-th edition, Cengage Learning, Inc, 2020.
  2. S.J. Colley, Vector Calculus, Pearson 2012
  3. M.P. Deisenroth, A.A. Faisal, C.S. Ong, Mathematics for Machine Learning, Cambridge University Press 2020.
  4. A. Birkholc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych PWN 2020.
  5. G.B. Arfken, H.J. Weber, Mathematical methods for physicists, Elsevier 2005.